راهبردهاي آموزش حل مسأله در دوره ابتدایی
مقدمه
مسأله را مي توان به زبان ساده تعريف كرد. هر گاه فردي بخواهد كاري انجام دهد ولي نتواند به هدف خود برسد، برايش مسأله ايجاد مي شود. به عبارت ديگر هر موقعيت مبهم يك مسأله است. حل مسأله نوعي از يادگيري بسيار پيچيده است. مسأله و تلاش براي حل آن جزئي از زندگي هر فرد است. فرآيند برخورد با شرايط زندگي همان مسأله است.
دو ديدگاه متفاوت در آموزش رياضيات نسبت به حل مسأله وجود دارد:
1- رياضي ياد بدهيم تا دانش آموزان بتوانند مسأله حل كنند.
2- رياضي را با حل مسأله آموزش دهيم.
در ديدگاه اول آموزش رياضي مطابق با محتواي موضوعي است و مفاهيم متفاوتي تدريس مي شوند. انتظار داريم دانش آموزان با استفاده از دانش رياضي خود مسائل متفاوت را حل كنند. اما در ديدگاه دوم آموزش رياضيات از طريق حل مسأله اتفاق مي افتد. يعني دانش آموز مسأله حل مي كند و در ضمن آن محتوا و مفاهيم جديد رياضي را مي سازد، كشف مي‌كند و يا ياد مي گيرد. در حال حاضر، ديدگاه دوم در آموزش رياضيات بيشتر مطرح است. در اين نگاه حل مسأله نقطه تمركز يا قلب تپنده آموزش رياضيات است.
مهارت حل مسأله
اگر از معلمان رياضي سؤال شود كه مشكل اصلي دانش آموزان در درس رياضي چيست؟ به يقين خواهند گفت: آنها در حل مسأله ناتوان هستند. درمطالعه تيمز نيز همين موضوع را شاهد بوديم. چون در اغلب مسأله‌هاي آزمون كتبي اين مطالعه عملكرد دانش‌آموزان پايين است. در واقع مي توانيم بگوييم دانش‌آموزان توانايي يا مهارت حل مسأله را ندارند.
يكي از دلايل اين ناتواني، فقدان طراحي براي آموزش مهارت حل مسأله به دانش آموزان بوده است. يا به عبارتي معلمان به آنها ياد نداده‌اند كه چگونه مسأله را حل كنند. هر گاه دانش‌آموزان با مسأله‌اي روبه‌رو شده و از حل آن عاجز مانده‌اند معلمان تنها به بيان راه حل يا پاسخ مسأله اكتفا كرده‌اند و نگاه‌هاي پرسش گر، كنجكاو و متحير دانش‌آموزان با اين سؤال باقي مانده است: معلم ما چگونه توانست مسأله را حل كند؟ راه حل مسأله چگونه به فكر او رسيد؟ چرا ما نتوانستيم راه حل مسأله را كشف كنيم؟
در خيلي از مواقع معلماني كه سعي كرده اند به طريقي حل مسأله را به دانش آموزان خود ياد دهند، راه را اشتباه رفته اند و آموزش هاي نادرست داده اند. براي مثال به دانش آموزان گفته اند: عددهاي مسأله بسيار مهم اند. زير آن ها خط بكشيد. فراموش نكنيد كه بايد از آن ها استفاده كنيد. همين آموزش نادرست باعث شده است. دانش آموزان اطلاعات مسأله را به خوبي تشخيص ندهند. وقتي مسأله زير براي دانش آموزان كلاس سوم مطرح شد، آن عدد 747 را در عمليات مسأله دخالت دادند و با آن عدد عبارت هاي جمع و تفريق و ... را نوشتند:
« يك هواپيماي بوئينگ 747 با 237 مسافر در فرودگاه نشست و 130 مسافر را پياده كرد. حالا اين هواپيما چند مسافر دارد؟»
يا براي دانش‌آموزان گفته اند كه درمسأله بعضي از كلمه‌ها بسيار مهم است. براي مثال اگر كلمه روي هم را ديديد مسئله مربوط به جمع است و اگر كلمه اختلاف را ديديد حتماً بايد تفريق كنيد.
به همين دليل در مسأله زير كه در مطالعه تيمز (2003) آمده بود، عده‌اي از دانش آموزان كلاس چهارم شركت كننده در اين مطالعه به اشتباه افتادند و مسأله را به جاي ضرب، جمع كردند.
«در يك سالن سينما 15 رديف صندلي وجود دارد. در هر رديف 19 صندلي قرار دارد. اين سالن روي هم چند صندلي دارد؟» بهتر است اين روش‌هاي آموزش
نادرست را به كار نبريم و به دنبال طرحي براي آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان باشيم.
آموزش حل مسأله
آيا حل مسأله آموزش دادني است؟ يكي از دلايل فقدان طرحي براي آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان، اين است كه آموزشگران رياضي تا چندين سال پيش معتقد بودند كه حل مسأله آموزش دادني نيست بلكه يك هنر يا ويژگي و توانايي است كه بعضي از انسا‌ن‌ها دارند و بعضي ندارند. بنابراين هيچ كس تلاش براي حل مسأله به دانش‌آموزان نمي‌كرد. اما تعداد كساني كه درمورد آموزش حل مسأله تحقيق مي‌كنند بيشتر است. يكي از افرادي كه در مورد چگونگي حل مسأله و آموزش آن تحقيق كرد، جرج پوليا است. حاصل كار او در كتاب «چگونه مسأله حل كنيم» منتشر شد. مرحوم احمد آرام اين كتاب را ترجمه كرده است. او در مقدمه كتاب خود مي گويد: « من يك رياضيدان هستم. متخصص آموزش رياضي نيستم، اما علاقه‌مندم بدانم چرا من مي‌توانم مسأله رياضي را حل كنم و ديگران نمي‌توانند؟ چرا بعضي از دانشجويان مسأله رياضي را حل مي‌كنند ولي بعضي نمي توانند؟ او همين سؤال ها را دنبال كرد و مدلي براي تفكر حل مسأله و آموزش راهبردها ارائه كرد. پوليا دو حرف اساسي دارد. 1- مدل چهار مرحله اي براي تفكر حل مسأله 2- آموزش راهبردها كه البته نكته دوم در آموزش اهميت بيشتري دارد.
مدل چهار مرحله‌اي پوليا
فرآيند تفكر حل مسأله براي افراد مختلف متفاوت است. پوليا تلاش كرده تفكر حل مسأله را به نوعي مدل سازي كند. او الگويي چهار مرحله‌اي را مطرح كرده است. در فرآيند حل مسأله اين چهار مرحله چهار گام طي مي‌شوند تا يك مسأله رياضي به طور كامل حل شود. مدل چهار مرحله‌اي او به اين شكل است:
1- فهميدن مسأله
گام اول حل مسأله فهميدن آن است. اين گام نشان مي‌دهد، مسأله وقتي مسأله است كه نكته‌اي براي فهميدن
داشته باشد. فهميدن مسئله يعني تشخيص داده ها و خواسته هاي آن و درك ارتباط بين آنها. فهم يك مسأله در واقع بخش اصلي فرآيند حل مسأله است. مسأله‌هاي پيچيده حل نمي شوند. چون اغلب در فهم آنها مشكل داريم. اغلب دانش آموزان در فهميدن مسأله اشكال دارند. يكي از دلايل آن اشكال در درك مطلب عبارات صورت مسأله است. معلمان مي‌توانند براي طي كردن اين گام، سؤال‌هاي گوناگوني مطرح كنند به نمونه‌هاي زير توجه كنيد:
داده‌هاي مسأله چيست؟
خواسته‌هاي آن كدامند؟
مسأله را به صورت خلاصه بيان كنيد.
مسأله را به زبان و بيان خود توضيح دهيد و دوباره تكرار كنيد.
مسأله را به صورت نمايشي اجرا كنيد.
مسأله را با شكل‌ها و يا اشياء مدل سازي كنيد.
آيا معني واژه‌ها، لغات و اصطلاحات به كار رفته در مسأله را مي‌دانيد؟
سؤال‌ها و توصيه‌هايي از اين دست كمك مي كنند، دانش‌آموز در مورد مسأله بهتر فكر كند و معلمان نيز مطمئن شوند كه آنها مسأله را درك كرده‌اند.
2- طرح ريزي كردن
در اين طرح مسأله از ابعاد متفاوت رياضي بررسي مي‌شود. يعني تعيين اين كه مسأله به كدام يك از شاخه‌هاي هندسه، كسر، جبر، و ... مربوط است. چگونه مي‌توان آن را مدل سازي كرد؟ كدام روش يا راهبرد براي حل آن مناسب‌تر است؟ در اين مرحله ممكن است مجبور شويم به گام فهميدن برگرديم و اين افت و برگشت تا پيدا كردن يك راه حل مناسب ادامه مي‌يابد. در آموزش ابتدايي آن چه بيشتر از همه براي دانش‌آموزان معني دارد، تشخيص روش يا راهبرد مناسب براي حل مسأله است. به همين دليل اين گام را به انتخاب راهبرد مي‌شناسيم. راهبرد يعني يك روش يا
راه حل عام كه در بسياري از مسائل كاربرد دارد. آموزش راهبردهاي حل مسأله، در واقع مهم‌ترين بخش حل مسأله است كه براي آموزش هنر حل مسأله راهي به دانش آموزان نشان مي‌دهد و آشكار مي‌سازد.
3- حل مسأله
در گام سوم، وقتي راهبرد مناسب براي حل مسأله مشخص شد، به حل آن اقدام مي كنيم، هنگام حل مسأله ممكن است به اين نتيجه برسيم كه راهبرد انتخاب شده مناسب نيست و به حل مسأله منجر نمي شود. بنابراين بايد به گام دوم برگرديم و راهبرد تغيير دهيم. يا حتي مجبور شويم براي فهميدن بخش‌هايي از مسأله به گام اول برگرديم.
حل مسأله صرفاً نوشتن عمليات و عبارت‌هاي رياضي نيست، گاهي با انتخاب راهبرد، رسم شكل و كشيدن يك شكل مناسب مسأله به طور كامل حل مي‌شود و ديگر نيازي به نوشتن عمليات نيست. يا حدس زدن پاسخ مسأله و آزمايش آن، خواسته مسأله را مشخص مي‌كند. در حالي كه عمليات و راه حل مستقيمي براي رسيدن به جواب ننوشته ايم.
4- نگاه به عقب
گام چهارم را اغلب دانش‌آموزان و معلمان طي نمي‌كنند. به عبارت ديگر پيدا كردن پاسخ و حل رياضي مسأله را پايان كار مي‌دانند در حالي كه در فرآيند حل مسأله گام نگاه به عقب اهميت زيادي دارد. اين مرحله جلوه‌ها و معني‌هاي متفاوتي دارد. تفسير و ترجمه جواب رياضي مسأله در دنياي واقعي، بررسي منطقي بودن پاسخ و اين كه جواب به دست آمده همان خواسته مسأله است يا نه بررسي صحت عمليات انجام شده بررسي مجدد مراحل مسأله، تطبيق شرايط مورد نظر مسأله با پاسخ به دست آمده، بررسي مسأله با يك راهبرد يا راه حل ديگر و در نظر گرفتن ساير حالت‌ها و شرايط براي مسأله، نمونه‌هايي از كارهايي هستند كه مي‌توان در گام آخر انجام داد.
راهبردهاي حل مسأله
چند نكته:
1- زماني كه آموزش يك راهبرد مورد نظر است، از دانش‌آموزان مي‌خواهيم، مسأله‌هاي داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل كنند تا با آن به طور كامل آشنا شوند. اما با گذشتن از آموزش راهبردها درهنگام حل مسأله آنها مي‌توانند از هر راهبردي كه مايل هستند مسأله را حل كنند. به اين ترتيب، يك مسأله مي‌تواند با راهبردهاي متفاوت در كلاس حل شود. در صورتي كه اين اتفاق دركلاس بيفتد باعث خوشحالي و سربلندي معلم خواهد شد.
2- آموزش راهبرد يعني فراهم كردن شرايط و موقعيتي كه دانش‌آموز درك كند، راهبرد مورد نظر براي حل مسأله كارآيي دارد.
3- تعداد راهبرد زياد است اما آموزش تعداد زيادي راهبرد به دانش‌آموزان طبق تحقيقات انجام شده مناسب نيست. زيرا مانع تفكر و خلاقيت دانش‌آموز خواهد شد. در اين جا چند راهبرد بررسي مي‌شوند:
الف: راهبرد رسم شكل: طبيعي‌ترين راهبردي كه به ذهن دانش آموز مي رسد رسم شكل است. بسياري از مسائل با كشيدن شكل مناسب يا مسأله به طور كامل حل يا راه حل آنها آشكار مي‌شود. اغلب معلمان اين راهبرد (راه حل) را در حل مسأله‌ها از دانش‌آموزان نمي‌پذيرند به همين دليل اين راهبرد طبيعي كم‌كم كنار گذاشته مي‌شود. مثال زيرنشان مي‌دهد، چگونه مي‌توان از اين راهبرد در حل مسأله‌اي استفاده كرد.
«در يك مزرعه 20 مرغ وگاو وجود دارد . تعداد پاهاي آنها 56 عدد است. چند مرغ و چند گاو در اين مزرعه وجود دارند؟» اين مسأله با استفاده از راهبردهاي رسم شكل، با اطلاعات دانش‌آموزان كلاس دوم دبستان قابل حل است.
- ابتدا 20 دايره به جاي سرها مي‌كشيم. براي هر كدام 2 خط (2پا) درنظر مي‌گيريم تا اين جا مي‌شود 40 پا، 16 پاي باقيمانده را با اضافه كردن 2 تا 2 تا رسم مي‌كنيم.
ب) راهبردهاي زير مسأله: مسأله‌هاي پيچيده و چند هدفي معمولاً از چند مسأله ساده تشكيل شده‌اند. گاهي حل يك مسأله و يا زنجيره‌اي از زير مسأله‌ها به حل مسأله اصلي منجر مي‌شوند. تشخيص زير مسأله‌ها و حل آنها، راهبرد مهمي براي حل مسأله‌هاي تركيبي است. مسأله زير با استفاده از اين راهبرد حل شده است:
«رضا 37 عدد گردو جمع كرده است. تعداد گردوهاي علي 17 تا بيشتر از اوست . اين دو نفر روي هم چند گردو جمع كرده اند؟»
اين مسأله در واقع از دو مسأله كوچك تشكيل شده است كه با حل آنها مي‌توان پاسخ را پيدا كرد.
1- تعداد گردوهاي علي چند تا است؟
2- تعدادگردوهاي رضا و علي روي هم چند تاست؟
پس
1- تعداد گردوهاي علي 54=14+37
2- تعداد گردوهاي رضا و علي 91=37+54
در اين راهبرد، دانش‌آموزان بايد ياد بگيرند، چگونه زير مسأله‌ها را تشخيص دهند. آنها را جداگانه بنويسند و سپس به حل تك‌تك آنها اقدام كنند.
ج) راهبرد حل مسأله ساده‌تر: گاهي مسأله پيچيدگي‌هايي دارد كه نمي‌توان آن را به راحتي حل كرد. اما وقتي آن را ساده مي‌كنيم، يا حل و يا روش حل آن ظاهر مي‌شود. وقتي مسأله درحالت ساده‌تر بررسي شد يا يك الگو‌يابي مي‌توان آن را به حالت كلي تعميم داد. ساده كردن عددها و داده‌ها نيز بخشي از اين راهبرد است. در مسأله زير با ساده كردن عددها مي‌توان به راه حل نزديك شد.
«در يك كارخانه، لوله‌هايي به طول متر توليد مي‌شود. در يك روز 244 عدد لوله توليد شده است. در اين روز چند متر لوله توليد شده است؟ »
شكل ساده شده مسأله چنين است: يك كارخانه لوله‌هايي به طول 2 متر توليد مي‌كند. اگر 200 عدد لوله توليد شود، چند متر لوله توليد شده است؟ يعني با تغيير دادن عددها و ساده كردن آنها، مي‌توان به راه حل مسأله كه ضرب است نزديك شد.
د) راهبرد حذف حالت نامطلوب: وقتي از تمام حالت‌هاي ممكن پاسخ يك مسئله و با استفاده از داده‌ها، فرض‌ها و اطلاعات مسأله حالت‌هاي نامطلوب يكي‌يكي يا دسته دسته حذف مي‌شوند، خود را به پاسخ نزديك مي‌كنيم. حذف حالت‌هاي نامطلوب، يعني كنار گذاشتن حالت‌هايي كه با شرايط و فرضيات مسأله تطبيق نداند تا رسيدن به پاسخ و حالت مطلوب كه مورد نظر مسأله است. به مثال زير توجه كنيد.
يك بازي دو نفره به اين صورت انجام مي‌شود كه يك نفر عددي بين 1 تا 100 در ذهن خود مجسم مي‌كند. نفر بعد با سؤال كردن از او، به طوري كه فقط پاسخ بلي يا خير بشنود، بايد به عددي دست يابد كه در ذهن نفر اول است. سؤال آيا اين عدد دو رقمي است مناسب نيست چون اگر پاسخ مثبت باشد، فقط 9 عدد (حالت نامطلوب) حذف مي‌شود و 90 عدد ديگر باقي مي‌ماند.
سؤال آيا اين عدد زوج است، مناسب است، چو در هر صورت يعني از حالت‌ها حذف مي‌شوند. بهترين سؤال براي شروع اين است: آيا اين عدد بين 1 تا 50 قرار دارد؟ به اين ترتيب نيمي از حالت‌ها حذف مي‌شوند. اگر پاسخ مثبت بود، سوال بعدي اين است كه آيا عدد بين 1 تا 25 است؟ به همين ترتيب، با نصف كردن، عددهاي نامطلوب كم كم حذف مي شوند تا به عدد مورد نظر دست يابيم.
محمد رضا رزم آرا
منابع :
- عباس زادگان، سيد محمد، ارائه الگويي در برنامه درسي رياضيات جديد، فصلنامه تعليم و تربيت، شماره 4، سال 1364، ص 37.
- گروه رياضي كاربردي، واژه نامهٌ رياضي، انتشارات جهاد دانشگاهي صنعتي شريف، چاپ پنجم، تير 1369.
- شیخ‌زاده، مصطفی و مهر محمدی، محمود 1383، نرم‌افزار آموزشی ریاضی ابتدایی بر اساس رویکرد سازنده گرایی و سنجش میزان اثر بخشی آن، نوآوری‌های آموزشی، سال سوم، شماره 9.
